類別的定義

類別 C 包括：

• 一組名為 Obj(C) 的物件;
• 這些物件之間的態射集合（稱為 Hom(C)）。如果 a 和 b 在 Obj(C) 中，那麼 Hom(C) 中的態射 f 通常表示為 f : a -> b，而 a 和 b 之間的所有態射的集合表示為 hom(a,b);
• 一種稱為身份態射的特殊態射 - 對於每一個傳統都存在一個態射的天蠍 14;
• 一個合成運算子（.），取兩個態射 f : a -> b，g : b -> c 併產生態射 a -> c

遵守以下準則：

For all f : a -> x, g : x -> b, then id . f = f and g . id = g

For all f : a -> b, g : b -> c and h : c -> d, then h . (g . f) = (h . g) . f

換句話說，具有身份態射（左側或右側）的構圖不會改變其他態射，並且構圖是關聯的。

在 Haskell 中，Category 被定義為 Control.Category 中的型別類 ：

-- | A class for categories.
--   id and (.) must form a monoid.
class Category cat where
    -- | the identity morphism
    id::cat a a

    -- | morphism composition
    (.) :: cat b c -> cat a b -> cat a c

在這種情況下，cat::k -> k -> *客觀化了態射關係 - 當且僅當 cat a b 有人居住時（即有一個值），存在一個態射 cat a b。a，b 和 c 都在 Obj(C)。Obj(C) 本身是由表示種類，例如，當 k ~ *，如通常的情況下，物件是型別 - k。

Haskell 中類別的規範示例是函式類別：

instance Category (->) where
  id = Prelude.id
  (.) = Prelude..

另一個常見的例子是 Monad 的 Kleisli 箭頭：

newtype Kleisli m a b = Kleisli (a -> m b)

class Monad m => Category (Kleisli m) where
  id = Kleisli return
  Kleisli f . Kleisli g = Kleisli (f >=> g)