Haskell 型別作為一個類別

類別的定義

Haskell 型別以及型別之間的函式形成（幾乎†）類別。我們對每個物件（型別）a 都有一個身份態射（函式）（id::a -> a）; 和態度（(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c）的組成，遵守範疇法：

f . id = f = id . f
h . (g . f) = (h . g) . f 

我們通常將此類別稱為 Hask 。

同構

在範疇論中，當我們有一個具有逆的態射時，我們有一個同構，換句話說，有一個態射，它可以與它組成以產生同一性。在 **Hask 中，**這相當於有一對態射 f，g，這樣：

 f . g == id == g . f

如果我們在兩種型別之間找到一對這樣的態射，我們稱它們彼此同構。

一些 a 的兩個同構型別的例子是 ((),a) 和 a。我們可以構造兩個態射：

f :: ((),a) -> a
f ((),x) = x

g::a -> ((),a)
g x = ((),x)

我們可以檢查一下 f . g == id == g . f。

函子

類別理論中的仿函式從一個類別到另一個類別，對映物件和態射。我們只處理一個類別， Hask of Haskell 型別的類別，因此我們將只看到從 Hask 到 Hask 的仿函式，那些起源和目標類別相同的仿函式被稱為 endofunctors 。我們的 endofunctors 將是一個型別並返回另一個型別的多型型別：

F :: * -> *

遵守分類函子定律（保留身份和構成）相當於遵守 Haskell 仿函式法則：

fmap (f . g) = (fmap f) . (fmap g)
fmap id = id

因此，我們有，例如，[]，Maybe 或 (-> r) 是仿函式 Hask 。

單子

類別理論中的 monad 是 endofunctors 類別的 monoid 。這個類別有 endofunctors 作為物件 F :: * -> *和自然變換（它們之間的轉換 forall a . F a -> G a）作為態射。

monoid 物件可以在 monoidal 類別上定義，並且是具有兩個態射的型別：

zero :: () -> M
mappend :: (M,M) -> M

我們可以將其粗略地轉換為 Hask endofunctors 的類別：

return::a -> m a
join::m (m a) -> m a 

並且，遵守 monad 法則相當於遵守分類的 monoid 物件定律。

†事實上，由於 undefined 的存在，所有型別的類以及型別之間的函式類並不嚴格地形成 Haskell 中的類別。通常，這可以通過簡單地將 Hask 類別的物件定義為沒有底值的型別來解決，這排除了非終止函式和無限值（codata）。有關此主題的詳細討論，請參見此處 。