Haskell 类型作为一个类别

类别的定义

Haskell 类型以及类型之间的函数形成（几乎†）类别。我们对每个对象（类型）a 都有一个身份态射（函数）（id::a -> a）; 和态度（(.) :: (b -> c) -> (a -> b) -> a -> c）的组成，遵守范畴法：

f . id = f = id . f
h . (g . f) = (h . g) . f 

我们通常将此类别称为 Hask 。

同构

在范畴论中，当我们有一个具有逆的态射时，我们有一个同构，换句话说，有一个态射，它可以与它组成以产生同一性。在 **Hask 中，**这相当于有一对态射 f，g，这样：

 f . g == id == g . f

如果我们在两种类型之间找到一对这样的态射，我们称它们彼此同构。

一些 a 的两个同构类型的例子是 ((),a) 和 a。我们可以构造两个态射：

f :: ((),a) -> a
f ((),x) = x

g::a -> ((),a)
g x = ((),x)

我们可以检查一下 f . g == id == g . f。

函子

类别理论中的仿函数从一个类别到另一个类别，映射对象和态射。我们只处理一个类别， Hask of Haskell 类型的类别，因此我们将只看到从 Hask 到 Hask 的仿函数，那些起源和目标类别相同的仿函数被称为 endofunctors 。我们的 endofunctors 将是一个类型并返回另一个类型的多态类型：

F :: * -> *

遵守分类函子定律（保留身份和构成）相当于遵守 Haskell 仿函数法则：

fmap (f . g) = (fmap f) . (fmap g)
fmap id = id

因此，我们有，例如，[]，Maybe 或 (-> r) 是仿函数 Hask 。

单子

类别理论中的 monad 是 endofunctors 类别的 monoid 。这个类别有 endofunctors 作为对象 F :: * -> *和自然变换（它们之间的转换 forall a . F a -> G a）作为态射。

monoid 对象可以在 monoidal 类别上定义，并且是具有两个态射的类型：

zero :: () -> M
mappend :: (M,M) -> M

我们可以将其粗略地转换为 Hask endofunctors 的类别：

return::a -> m a
join::m (m a) -> m a 

并且，遵守 monad 法则相当于遵守分类的 monoid 对象定律。

†事实上，由于 undefined 的存在，所有类型的类以及类型之间的函数类并不严格地形成 Haskell 中的类别。通常，这可以通过简单地将 Hask 类别的对象定义为没有底值的类型来解决，这排除了非终止函数和无限值（codata）。有关此主题的详细讨论，请参见此处 。